Математик (геометрия и топология). В. М. Харламов

Геометрия - одна из важнейших математических дисциплин. Зародилась она еще в глубокой древности. Уже само название (буквальный перевод слова "геометрия" (греч.) - землемерие) свидетельствует о том, что становление геометрии было связано с практическими проблемами. На протяжении многих веков геометрия черпала свой материал из наглядных представлений об окружающем человека реальном пространстве и о формах и расположении в пространстве реальных тел. Стимулом ее развития служили, с одной стороны, применение в разнообразных областях практической деятельности (в геодезии, астрономии, строительстве, навигации, механике и т. д.) и, с другой стороны, незаменимая непосредственная роль в изучении законов природы. Все это на первых порах в большой степени сближало геометрию с естественными науками.

Вершиной первого периода развития геометрии явилось создание греческими математиками (VII - I веков до нашей эры) основ наглядной геометрии. Тогда был накоплен значительный экспериментальный материал, выделены первые объекты исследования, которые были подвергнуты систематическому изучению. Помимо глубоких теорем, подлинным достижением этого периода явилось зарождение геометрического языка и геометрической интуиции. Именно эта геометрия теперь называется элементарной и составляет основную часть курса геометрии в современном школьном преподавании.

Новый этап в эволюции геометрии начался в XVII столетии. Глубокие изменения произошли в самом содержании этой области. Геометрия вышла за рамки непосредственно созерцаемых образов. Все большую роль начали играть внутренние стимулы развития. Все дальнейшие изменения в геометрии уже неотделимы от общего развития математики, они связаны с возникновением новых математических теорий и со все большим взаимопроникновением различных математических дисциплин друг в друга.

В XVII столетии геометрия, которая прежде ограничивалась, как правило, наглядными рассмотрениями, обогатилась новым методом, давшим возможность решать многие геометрические задачи с помощью алгебры и анализа. Появилась, как ее стали называть, аналитическая геометрия.

В XVIII столетии геометрия, став вначале одним из источников дифференциального и интегрального исчисления, затем сама испытала животворное влияние этого исчисления: зародилось новое направление геометрических исследований - дифференциальная геометрия. Начальные вопросы, относящиеся к этой области, связаны с изучением кривизны кривых, кратчайших линий на поверхностях и изгибанием поверхностей. В то время как предшествующие геометрические теории изучали фигуры как твердые тела, дифференциальная геометрия изучает те свойства фигуры, которые сохраняются не только при перемещениях, но и при изгибаниях, то есть при таких деформациях, которые не меняют длины кривых, принадлежащих фигуре.

В XIX столетии геометрия решительно вышла за рамки трехмерного эвклидова мира. В этот период были созданы неэвклидовы геометрии, и, кроме того, геометрия приступила к изучению многомерных пространств. В конце XIX - начале XX столетия сформировалась еще одна область геометрических исследований - топология. Отличительная черта ее - изучение свойств фигуры и ее элементов, сохраняющихся при любых непрерывных деформациях (в отличие от дифференциальной геометрии - длины могут меняться). С топологической точки зрения буква А эквивалентна букве Д, но не эквивалентна букве М, поверхность шара эквивалентна поверхности куба, но не эквивалентна тору - поверхности бублика.

XX столетие - период расцвета дифференциальной геометрии и топологии. В немалой степени развитие дифференциальной геометрии было стимулировано геометрической теорией тяготения, созданной Эйнштейном. Геометрия, как и вся математика в целом, находится в непрестанном развитии: кто знает, может быть, в самое ближайшее время она откроет нам свои новые стороны.

Геометрия по-прежнему сохраняет прямые связи с естественными науками и в первую очередь с физикой, обмениваясь с ними идеями и методами и обогащая друг друга глубокими результатами.

В современной геометрии много теорий, не имеющих аналога в элементарной геометрии и совсем непохожих на ту геометрию, с которой знакомят в школе. В то же время многие современные теории имеют своим началом факты элементарной геометрии, трактуя их по-новому.

Мир геометрии чрезвычайно многообразен и увлекателен. Это даже не мир, а скорее множество миров. По этим мирам прокладывает маршруты своих путешествий геометр, покоряя вершины и открывая новые земли. Эти путешествия, конечно, не только приключения и открытия, но и напряженная работа, требующая полной отдачи сил.

Современная математика едина. В ней невозможно провести четкую границу между геометрией и другими областями математики (это доказывают даже названия некоторых разделов математики: геометрия чисел, алгебраическая геометрия, геометрическая теория функций). Бытующее деление на арифметику, алгебру, анализ, геометрию и т. д. весьма условно. Оно отчасти связано с существованием определенных особенностей процесса мышления у разных людей (склонность к наглядному, образному или же формальному мышлению и т. п.), однако в большей степени отражает историю математики и существующую систему преподавания математики и организации математических исследований.

Мыслительная деятельность является основой в работе математика. Отличительная черта геометрического мышления - наглядность. В геометрии выработался свой язык - язык образов, оказавшийся чрезвычайно удобным и эффективным. Он часто оказывается пригодным для изображения и изучения объектов, не имеющих на первый взгляд ничего общего с нашими наглядными представлениями. Можно говорить и об особой геометрической интуиции, которая оказывается применимой во многих областях, очень непохожих друг на друга. Именно эти особенности определяют ту значительную роль, какую постоянно играет геометрическое мышление в чистой и прикладной математике, и вызывают столь активное проникновение геометрических идей в разные науки, какое происходит в настоящее время.