НОВОСТИ   БИБЛИОТЕКА   ЭНЦИКЛОПЕДИЯ   КАРТА САЙТА   ССЫЛКИ   О САЙТЕ  






предыдущая главасодержаниеследующая глава

Математик (дифференциальные уравнения и их приложения). С. Ю. Пилюгин

Дифференциальные уравнения - это язык, на котором формулируются законы природы. Движения планет очень сложны, но еще Ньютон обнаружил, что управляющая ими сила подчиняется простому закону - закону всемирного тяготения. Сила определяет ускорение планеты, то есть вторую производную от ее координат по времени, но и сама зависит от координат. Мы получаем уравнение, которое связывает координаты планеты с их производными. Это и есть дифференциальное уравнение - точнее, система дифференциальных уравнений, потому что сила и ускорение имеют три проекции, и неизвестных функций времени - координат - у планеты тоже три.

Такие дифференциальные уравнения называются обыкновенными, потому что все неизвестные функции зависят от одной независимой переменной - времени.

Решить дифференциальное уравнение - значит найти неизвестную функцию, например, определить движение планеты, если задано ее начальное положение и скорость.

В природе встречаются величины, зависящие не только от времени, но и от других переменных, например, координат. Это и скорость движения жидкости, и электрический потенциал, и сложные поля квантовой механики. Все они меняются от точки к точке, и управляющие ими уравнения содержат частные производные и по времени, и по координатам точки. Такие дифференциальные уравнения называются уравнениями с частными производными, а их теория - математической физикой.

Обыкновенные дифференциальные уравнения удается решить явно (то есть найти формулу для решения) только в редких случаях. В середине XIX века французский математик Ж. Лиувилль даже доказал, что бывают уравнения, которые вообще нельзя явно решить. Поэтому приходится изучать свойства решений дифференциального уравнения по самому уравнению. Эта теория называется качественной теорией дифференциальных уравнений, она тесно связана с топологией и алгебраической геометрией. Основы качественной теории дифференциальных уравнений создали русский математик А. М. Ляпунов и французский А. Пуанкаре I в конце XIX века. Сейчас она превратилась в глубокую и процветающую область математики.

Самая знаменитая задача качественной теории - задача трех тел. Уравнение Ньютона, несмотря на простоту закона всемирного тяготения, удается решить точно лишь для случая двух притягивающихся тел (Солнце и планета). Уже для трех тел (Солнце и две планеты или Солнце, планета и спутник) исследование их взаимных движений не закончено и сейчас, а в Солнечной системе девять больших планет и много спутников и астероидов. И все-таки качественные и приближенные методы теории дифференциальных уравнений позволили английскому астроному Дж. Адамсу и французскому У. Леверье в 1845 году предсказать существование новой планеты Нептун, а в наше время дают возможность точно рассчитывать полеты космических станций. Конечно, сейчас для этого используются самые мощные ЭВМ. Но, например, устойчивость Солнечной системы на миллиарды лет вперед доказать пока не удается, хотя развитие идей Ляпунова и Пуанкаре и позволило продвинуться к этой цели.

Другое направление теории дифференциальных уравнений - разработка приближенных методов, которые дают решение с заданной точностью. Они бывают аналитические и численные. Еще Ньютон искал решения дифференциальных уравнений, раскладывая их в степенные ряды, а Л. Эйлер предложил численный метод, до сих пор работающий на ЭВМ. Точный расчет орбиты спутника или работы ядерного реактора требует огромных вычислений, и современные ЭВМ позволяют решать задачи, которые недавно были совершенно недоступны.

Уравнения с частными производными гораздо сложнее обыкновенных дифференциальных уравнений. Они имеют очень много решений, и целые области науки посвящены изучению решения одного-единственного уравнения. Например: вся электростатика занимается решением в разных ситуациях одного из уравнений математической физики - уравнения Лапласа. Уравнения с частными производными описывают деформацию упругих тел, распространение волн, электрические колебания, химические реакции и т. д. Изменение состояния атмосферы тоже моделируется уравнениями с частными производными. Работы последних лет показали, что решения этих уравнений ведут себя чрезвычайно сложно, и малейшее изменение начальных условий может привести к сильному и непредсказуемому изменению решений уже за короткое время. Поэтому задача надежного предсказания погоды, несмотря на огромные усилия ученых всего мира, далека от решения. Наверно, только будущие поколения изобретут методы исследования этой задачи.

Специалистов по теории дифференциальных уравнений готовят все университеты страны - в любом университете есть кафедры дифференциальных уравнений и математической физики. Опыт последних лет показывает, что самые большие продвижения как в самой теории, так и в прикладных задачах связаны с синтезом качественной теории, точных аналитических методов и численного анализа с помощью ЭВМ. Поэтому те математики, которые будут создавать теорию дифференциальных уравнений XXI века, несомненно, будут работать в одной из самых увлекательных областей науки.

предыдущая главасодержаниеследующая глава










© GENLING.RU, 2001-2021
При использовании материалов сайта активная ссылка обязательна:
http://genling.ru/ 'Общее языкознание'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь