Математик (математический анализ и его приложения). Е. М. Дынькин

Математическим анализом по традиции называется обширная область математики, восходящая к классическому дифференциальному и интегральному исчислению. Основа математического анализа была заложена Ньютоном, Лейбницем и их современниками. С тех пор прошло 300 лет, а математический анализ превратился в зрелую и очень разветвленную дисциплину.

Математический анализ в узком смысле включает теорию функций вещественного переменного, теорию функций комплексного переменного, гармонический анализ и функциональный анализ.

Теория функций вещественного переменного занимается углубленным изучением фундаментальных понятий классического анализа - производной и интеграла. К ней относится знаменитый пример непрерывной функции (К. Вейерштрасс, XIX век); которая ни в одной точке не имеет производной. К ней же относится и созданная А. Лебегом на рубеже XX века новая теория интегрирования, на которую опирается вся современная математическая физика и вся теория вероятностей.

Теория функций комплексного переменного изучает поведение функций, аргументы которых принимают и вещественные и комплексные значения. Она была создана в XVIII - XIX веках главным образом трудами Ж. Даламбера, Л. Эйлера, О. Л. Коши и Б. Римана и в XIX - начале XX века была ведущей областью математического анализа.

Гармонический анализ имеет дело с разложением произвольной функции, или колебания, на чисто синусоидальные - гармонические - слагаемые. Восходя к работам Д. Бернулли и Ж. Б. Фурье, он превратился в большую и активно развивающуюся область математики. Гармонический анализ - необходимый язык любого радиоинженера или физика-теоретика, которые привыкли говорить о частотах, фазах и амплитудах.

Наконец, функциональный анализ - это новый раздел математики, созданный уже в XX веке. Обычная функция - это соответствие, которое превращает одно число (аргумент) в другое (значение функции). Функциональный же анализ изучает такие соответствия, которые превращают одну функцию в другую - простейшим примером является операция дифференцирования. Эти "функции от функции" называются операторами, и главная задача функционального анализа - изучение операторов. Обыкновенные функции теперь представляются как простые точки в "функциональном пространстве" бесконечного числа измерений. Оказывается, если применить к этим удивительным пространствам соображения привычной трехмерной - и даже плоской - геометрии, то удается решать сложные задачи математической физики. Конечно, выполнение такой программы потребовало большой смелости от основателей функционального анализа - С. Банаха, Д. Гильберта, Ф. Рисса, Дж. фон Неймана и других. Когда в 20-х годах нашего века была создана квантовая механика, именно функциональный анализ стал ее главным математическим аппаратом, ее языком.

Конечно, как и в любой живой науке, деление математического анализа на области условно, и границы их зыбки. Есть и такие - меньшие - разделы математического анализа, которые примыкают к четырем главным областям, но имеют свою тематику. Например, развитие математической физики вызвало к жизни теорию специальных функций - подробное изучение конкретных функций, нужных для приложений, которые только тем отличаются от синуса или логарифма, что не входят в школьную программу.

Математический анализ - это внутренняя, техническая область математики. Как и большинство разделов чистой математики, он развивался в XX веке прежде всего под влиянием внутренних причин и проблем. Спектр результатов современного математического анализа очень широк. На одном полюсе находятся общие принципы функционального анализа - (например, знаменитая теорема Хана - Банаха), на другом - очень тонкие теоремы о распределении значений специальных функций. Но, как и во всей математике, "нам не дано предугадать, как слово наше отзовется", и самые специальные результаты вдруг приводят к глубоким следствиям в смежных областях. Поэтому среди аналитиков встречаются и люди, склонные к широким обобщениям, и трудолюбивые вычислители.

Говоря о связях математического анализа с другими областями математики и с приложениями, нужно различать две стороны дела: основные объекты и конструкции анализа и, с другой стороны, нетривиальные результаты об их поведении. Фундаментальные понятия и результаты классического анализа - такие, как функция, интеграл, производная, - встречаются решительно везде. Вот уже 300 лет именно математический анализ составляет язык всего естествознания. Именно он в основном и образует ту высшую математику, которую изучают студенты всех технических вузов. Иное дело - тонкие и глубокие теоремы современного анализа. Когда в прикладной задаче удается найти применение какой-нибудь нетривиальной теоремы высшего анализа, это всегда приводит к качественному углублению предмета и появлению новых точек зрения на него.

Дипломированные математики работают программистами, научными сотрудниками отраслевых институтов, преподавателями и т. д. Специальная подготовка в области анализа оказывается полезной для работы в точных науках - физике, химии, астрономии и биологии. Помогает в работе хорошая подготовка по этим предметам в школе. Некоторые разделы функционального анализа используются в математической экономике. В гуманитарных науках математический анализ не используется. В практике вычислительных центров подготовка по математическому анализу бывает, полезна и важна при решении научных и инженерных задач, но не задач экономических, когда большее применение находят математическая логика и исследование операций.

Как и другие области математики, математический анализ - не профессия, а специализация внутри математики. Специализация по математическому анализу существует на математических факультетах всех университетов. Сильные коллективы специалистов по математическому анализу есть в Москве, Ленинграде, Воронеже, Новосибирске, Донецке, Ереване, Тбилиси, Киеве, Харькове и других городах СССР.

Выбор специализации определяется личной склонностью и способностями студента и не связан с какими-то специальными чертами характера. В любой области математики требуется богатое воображение и способность сосредоточенного размышления над избранной проблемой. Нужна высокая концентрация внимания, чтобы неизбежные отвлечения и перерывы в работе не влияли на ход рассуждений. Для занятий математическим анализом желательно иметь вкус к работе с формулами и не бояться длинных вычислений. Математический анализ, как область математики старая и техническая, требует глубокого и кропотливого изучения предмета. В отличие от таких молодых областей, как кибернетика, в анализе почти невозможно получить эффективный новый результат коротким путем в обход технических трудностей. Подобно шахматам, теоретической физике или ювелирному делу, удовлетворение от занятий математическим анализом состоит во внутреннем богатстве предмета и преодолении трудных препятствий.