Математик (алгебра и теория чисел). М. И. Башмаков

Если спросить школьника, из чего состоит математика, то почти наверняка он ответит, что из алгебры и геометрии. То, что это не так, становится ясно даже по статьям о математических профессиях, помещенным в этой книге. В то же время действительно все здание современной математики возникло из алгебры и геометрии - самых древних наук о числах и фигурах.

Числа, простые арифметические действия над ними давно вошли в обиход каждого грамотного человека. Более того, на языке чисел легко передать самые различные смысловые оттенки из других областей человеческих знаний. Недаром современная вычислительная техника целиком построена на числовом кодировании информации. Таким образом, числа, действия над ними сами по себе еще не представляют объекта современной научной деятельности. То, чем занимаются математики - специалисты в области алгебры и теории чисел, - связано с двумя ветвями развития учения о числе, о которых мы скажем отдельно.

Человека издавна поразили загадки мира целых чисел. Но на некоторые, просто формулируемые и доступные школьнику вопросы не удавалось найти ответа в течение многих столетий. Эти загадки привлекали многих к постоянным занятиям математикой. Однако чаще всего интерес к теории чисел остается лишь юношеским увлечением, а человек творчески и активно работает в другой области математики. Теория чисел остается одной из самых трудных областей современной математики, являющейся одновременно пробным камнем применения различных математических теорий и кузницей новых идей.

Осмысливая арифметические действия над числами, человек пришел к изучению самих действий и их свойств, независимо от того, к каким объектам эти действия прилагаются - к числам, векторам, функциям, матрицам, высказываниям, преобразованиям и т. д. Это открыло необъятное поле деятельности, и сейчас алгебра стала одной из самых разветвленных и интенсивно развивающихся областей математики.

Приведем типичный для приложений алгебры пример. Недавно весь мир покорила увлекательная игрушка - кубик Рубика. Читатель, наверное, будет удивлен, если узнает, что специалисты, которые могут ответить на любой разумный вопрос о поведении кубика Рубика (разумеется, не о его техническом устройстве) - это математики-алгебраисты. Дело в том, что повороты слоев кубика - это как раз те объекты, над которыми можно совершать операцию - последовательное их проведение. Система этих поворотов хорошо известна в алгебре. Человек, не знающий алгебры, после долгих проб открывает для себя важнейшую операцию с кубиком - взять два поворота, выполнить сначала первый, затем второй, а далее сделать поворот, обратный первому и второму. Уже то, что после этого, как правило, получается не то, что было вначале - удивительно (это на языке алгебры - невыполнение переместительного, или коммутативного, закона для поворотов). Целесообразность же описанной выше операции с кубиком уже совсем необъяснима для неспециалиста и абсолютно очевидна тому, кто знаком с основами, так называемой теории групп - одному из центральных разделов алгебры.

Если среди многочисленных рассматриваемых в алгебре систем с операциями взять только системы с конечным числом состояний (как, например, кубик Рубика), то описание их симметрии, чем, в частности, занимается алгебра, уже представит мощную область приложений. Здесь и кристаллы, возможная форма которых полностью описана алгеброй, здесь и молекулы органических соединений (проблема описания их изомеров также решена алгеброй), здесь и конфигурации элементарных частиц - современная физика не может обойтись без алгебры.

Математик, выбравший алгебру в качестве своей основной профессии, должен обладать способностью работать с абстрактными понятиями. Эта способность развивается в процессе изучения математики, и поэтому главным в выборе этой профессии остается то же, что связывает, воедино все математические специальности.